Trajectoires rugueuses, processus gaussiens et applications

• Main Author: Marie, Nicolas
• Language: FRE
• Published: Université Paul Sabatier - Toulouse III 2012
• Subjects: [MATH:MATH_PR] Mathematics/Probability; [MATH:MATH_PR] Mathématiques/Probabilités; Trajectoires rugueuses; Calcul de Malliavin; Equations différentielles stochastiques; Calcul de sensibilités; Equation Mean-Reverting généralisée; Pharmacocinétique; Finance
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00783931; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/92/39/87/PDF/These_MARIE.pdf

Les principaux thèmes de cette thèse sont la théorie des trajectoires rugueuses développée par T. Lyons (1998) et ses applications, notamment à l'étude des équations différentielles stochastiques (EDS) et au calcul de sensibilités. Des applications potentielles des résultats théoriques en science du vivant et en finance y sont également développés. En premier lieu, sont étendues l'existence et l'expression des grecques Delta et Véga, sensibilités bien connues en finance, pour des EDS à coefficients bornés et dirigées par un processus gaussien multidimensionnel centré, à trajectoires continues, au-dessus duquel il existe une trajectoire géométrique naturelle. Le cas du mouvement brownien fractionnaire a particulièrement été développé afin de proposer d'une part, une application du calcul de Véga dans un modèle de marché financier à volatilité stochastique fractionnaire et d'autre part, d'effectuer des simulations. En second lieu, est étudiée une généralisation d'équation mean-reverting au cas d'un signal gaussien unidimensionnel, centré et à trajectoires continues : existence globale et unicité de la solution, intégrabilité, continuité et différentiabilité de l'application d'Itô, existence d'un schéma d'approximation convergeant dans tous les Lp avec une vitesse de convergence presque-sure, un principe de grandes déviations et, l'existence d'une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. L'étude de cette famille d'EDS a débouché sur une application en pharmacocinétique.