Inférence statistique dans un modèle à variances isolées de grande dimension

• Main Author: Passemier, Damien
• Language: fra
• Published: Université Rennes 1 2012
• Subjects: [MATH:MATH_ST] Mathematics/Statistics; [MATH:MATH_ST] Mathématiques/Statistiques; [STAT:TH] Statistics/Statistics Theory; [STAT:TH] Statistiques/Théorie; Matrices aléatoires; grande dimension; modèle à facteurs; modèle à variances isolées; mesure spectrale; matrice de covariance; test d'hypothèses; valeurs propres extrêmes; estimation paramétrique; maximum de vraisemblance
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00780492; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/78/04/92/PDF/PASSEMIER_Damien.pdf

Cette thèse s'intéresse à l'estimation statistique dans un modèle à variances isolées (modèle spike) de grande dimension. La théorie des matrices aléatoires permet de prendre en compte cette spécificité, puisque la plupart des résultats limites s'appliquent aux matrices dont la taille tend vers l'infini. Une part importante de ces résultats concerne la matrice de covariance empirique. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l'estimation du nombre de facteurs/spikes. La différence de comportement des valeurs propres de la matrice de covariance empirique, selon que l'on considère celles correspondant aux spikes ou non, nous permet de construire un estimateur. Ce dernier correspond à la différence de deux valeurs propres consécutives ordonnées. Nous établissons la consistance de l'estimateur dans le cas où toutes les spikes sont distinctes, et le comparons à deux méthodes existantes à travers des simulations. L'estimateur dépend d'un seuil qui doit remplir certaines conditions. Dans la suite, nous étendons le résultat de consistance au cas d'égalité et améliorons l'estimateur en changeant de seuil. Dans un second temps, nous considérons les estimateurs du maximum de vraisemblance d'un modèle à facteurs strict à variance homoscédastique. En utilisant un théorème limite pour les statistiques spectrales linéaires, nous corrigeons l'estimateur de la variance commune en grande dimension en donnant l'expression de son biais et en établissant sa loi limite. Nous présentons une version corrigée du test du rapport de vraisemblance d'adéquation à un modèle à facteurs. Finalement, nous construisons un test d'égalité de deux spikes.