Projection markovienne de processus stochastiques

• Main Author: Bentata, Amel
• Language: ENG
• Published: Université Pierre et Marie Curie - Paris VI 2012
• Subjects: [MATH:MATH_PR] Mathematics/Probability; [QFIN:PR] Quantitative Finance/Pricing of Securities; Projection markovienne; équation de Kolmogorov; semimartingale; problème de martingale; ́équation forward; équation de Dupire
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00766235; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/76/62/35/PDF/These.pdf

Cette thèse porte sur l'étude mathématique du problème de projection Markovienne d'un processus aléatoire: il s'agit de construire, étant donné un processus aléatoire ξ, un processus de Markov ayant à chaque instant la même distribution que ξ. Cette construction permet ensuite de déployer les outils analytiques disponibles pour l'étude des processus de Markov (équations aux dérivées partielles ou équations integro-différentielles) dans l'étude des lois marginales de ξ, même lorsque ξ n'est pas markovien. D'abord étudié dans un contexte probabiliste, notamment par Gyöngy (1986), ce problème a connu un regain d'intêret motivé par les applications en finance, sous l'impulsion des travaux de B. Dupire. La thèse entreprend une étude systématique des aspects probabilistes (construction d'un processus de Markov mimant les lois marginales de ξ) et analytiques (dérivation d'une équation de Kolmogorov forward) de ce problème, étendant les résultats existants au cas de semimartingales discontinues. Notre approche repose sur l'utilisation de la notion de problème de martingale pour un opérateur integro-différentiel. Nous donnons en particulier un résultat d'unicité pour une équation de Kolmogorov associée à un opérateur integro-différentiel non-dégénéré. Ces résultats ont des applications en finance: nous montrons notamment comment ils peuvent servir à réduire la dimension d'un problème à travers l'exemple de l'évaluation des options sur indice en finance.