Observateurs en dimension infinie. Application à l'étude de quelques problèmes inverse

• Main Author: Haine, Ghislain
• Language: fra
• Published: Université de Lorraine 2012
• Subjects: [MATH:MATH_AP] Mathematics/Analysis of PDEs; [MATH:MATH_AP] Mathématiques/Equations aux dérivées partielles; [MATH:MATH_NA] Mathematics/Numerical Analysis; [MATH:MATH_NA] Mathématiques/Analyse numérique; [MATH:MATH_OC] Mathematics/Optimization and Control; [MATH:MATH_OC] Mathématiques/Optimisation et contrôle; Équations aux Dérivées Partielles; Contrôle et Observation; Problèmes inverses
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00750725; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/76/07/37/PDF/these.pdf; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/76/07/37/ANNEX/Soutenance.pdf

Dans un grand nombre d'applications modernes, on est amené à estimer l'état initial (ou final) d'un système infini-dimensionnel (typiquement un système gouverné par une Équation aux Dérivées Partielles (EDP) d'évolution) à partir de la connaissance partielle du système sur un intervalle de temps limité. Un champ d'applications dans lequel apparaît fréquemment ce type de problème d'identification est celui de la médecine. Ainsi, la détection de tumeurs par tomographie thermo-acoustique peut se ramener à des problèmes de reconstruction de données initiales. D'autres méthodes nécessitent l'identification d'un terme source, qui, sous certaines hypothèses, peut également se réécrire sous la forme d'un problème de reconstruction de données initiales. On s'intéresse dans cette thèse à la reconstruction de la donnée initiale d'un système d'évolution, en travaillant autant que possible sur le système infini-dimensionnel, à l'aide du nouvel algorithme développé par Ramdani, Tucsnak et Weiss (Automatica 2010). Nous abordons en particulier l'analyse numérique de l'algorithme dans le cadre des équations de Schrödinger et des ondes avec observation interne. Nous étudions les espaces fonctionnels adéquats pour son utilisation dans les équations de Maxwell, avec observations interne et frontière. Enfin, nous tentons d'étendre le cadre d'application de cet algorithme lorsque le système initial est perturbé ou que le problème inverse n'est plus bien posé, avec application à la tomographie thermo-acoustique.