Une Approche vers la Description et l'Identification d'une Classe de Champs Aléatoires

• Main Author: Dachian, Serguei
• Language: ENG
• Published: Université Pierre et Marie Curie - Paris VI 1999
• Subjects: [MATH:MATH_PR] Mathematics/Probability; [MATH:MATH_ST] Mathematics/Statistics; [STAT:TH] Statistics/Statistics Theory; champs aléatoires; champs aléatoires de Gibbs; champs aléatoires non-Gibbsiens; localité; quasilocalité; $P$-fonctions; $Q$-fonctions; $H$-fonctions; $Q$-systèmes; $H$-systèmes; systèmes ponctuels; estimation paramétrique; estimation nonparamétrique; méthode de "sieves"; consistance
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00748012; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/74/80/12/PDF/thesedachian.pdf

Une nouvelle approche de la description des champs aléatoires sur le réseau entier $\nu$-dimensionnel $Z^\nu$ est présentée. Les champs al'eatoires sont décrits en terme de certaines fonctions de sous-ensembles de $Z^\nu$ , à savoir les $P$-fonctions, les $Q$-fonctions, les $H$-fonctions, les $Q$-systèmes, les $H$-systèmes et les systèmes ponctuels. La corrélation avec la description Gibbsienne classique est montrée. Une attention particulière est portée au cas quasilocal. Les champs aléatoires non-Gibbsiens sont aussi considérés. Un procédé général pour construire des champs aléatoires non-Gibbsiens est donné. La solution du problème de Dobrushin concernant la description d'un champ aléatoire par ses distributions conditionnelles ponctuelles est déduite de notre approche. Ensuite, le problème de l'estimation paramétrique pour les champs aléatoires de Gibbs est considéré. Le champ est supposé spécifié en terme d'un système ponctuel local invariant par translation. Un estimateur du système ponctuel est construit comme un rapport de certaines fréquences conditionnelles empiriques. Ses consistances exponentielle et $L^p$ uniformes sont démontrées. Finalement, le problème nonparamétrique de l'estimation d'un système ponctuel quasilocal est considéré. Un estimateur du système ponctuel est construit par la méthode de "sieves". Ses consistances exponentielle et $L^p$ sont prouvées dans des cadres différents. Les résultats sont valides indépendamment de la non-unicité et de la perte de l'invariance par translation.