Calcul des invariants de groupes de permutations par transformee de fourier.

• Main Author: Borie, Nicolas
• Language: FRE
• Published: Université Paris Sud - Paris XI 2011
• Subjects: [MATH:MATH_GM] Mathematics/General Mathematics; Théorie des invariants effective; Combinatoire algébrique; Calcul formel; Groupes de permutations; Groupes de Coxeter; Algèbres de Hecke affine; Polynômes harmoniques; Génération à un isomorphisme près; Exploration informatique
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00656789; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/65/67/89/PDF/VD2_BORIE_NICOLAS_07122011.pdf

Cette thèse porte sur trois problèmes en combinatoire algébrique effective et algorithmique.Les premières parties proposent une approche alternative aux bases de Gröbner pour le calcul des invariants secondaires des groupes de permutations, par évaluation en des points choisis de manière appropriée. Cette méthode permet de tirer parti des symétries du problème pour confiner les calculs dans un quotient de petite dimension, et ainsi d'obtenir un meilleur contrôle de la complexité algorithmique, en particulier pour les groupes de grande taille. L'étude théorique est illustrée par de nombreux bancs d'essais utilisant une implantation fine des algorithmes. Un prérequis important est la génération efficace de vecteurs d'entiers modulo l'action d'un groupe de permutation, dont l'algorithmique fait l'objet d'une partie préliminaire.La quatrième partie cherche à déterminer, pour un certain quotient naturel d'une algèbre de Hecke affine, quelles spécialisations des paramètres aux racines de l'unité donne un comportement non générique.Finalement, la dernière partie présente une conjecture sur la structure d'une certaine $q$-déformation des polynômes harmoniques diagonaux en plusieurs paquets de variables pour la famille infinie de groupes de réflexions complexes.Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et font l'objet de multiples contributions au logiciel Sage.