Inéquations variationnelles stochastiques et applications aux vibrations de structures mécaniques

• Main Author: Mertz, Laurent
• Language: ENG
• Published: Université Pierre et Marie Curie - Paris VI 2011
• Subjects: [MATH:MATH_AP] Mathematics/Analysis of PDEs; [MATH:MATH_PR] Mathematics/Probability; [INFO:INFO_NA] Computer Science/Numerical Analysis; [SPI:MECA:VIBR] Engineering Sciences/Mechanics/Vibrations; [PHYS:MECA:VIBR] Physics/Mechanics/Vibrations; inéquations variationnelles stochastiques; équations aux dérivées partielles avec des conditions non-locales; vibrations aléatoires; diffusion ergodique
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00653121; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/65/31/21/PDF/MertzThesis.pdf; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/65/31/21/ANNEX/presentation_these.pdf

Cette thèse traite des inéquations variationnelles stochastiques et de leurs applications aux vibrations de structures mécaniques. On considère d'abord un algorithme numérique déterministe pour obtenir le régime stationnaire d'une inéquation variationnelle stochastique modélisant un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc. Une famille de solutions d'équations aux dérivées partielles définissant la mesure invariante par dualité est étudiée comme alternative à la simulation probabiliste. Puis, nous présentons une nouvelle caractérisation de l'unique mesure invariante. Dans ce contexte, nous montrons une relation liant des problèmes non-locaux et des problèmes locaux en introduisant la définition des cycles courts. Dans un cadre orienté vers les applications, nous démontrons que la variance de la déformation plastique cro^it linéairement avec le temps et nous caractérisons rigoureusement le coefficient de dérive en introduisant la définition des cycles longs. Dans la suite, nous étudions un processus approché de la solution de l'inéquation comportant des sauts aux instants de transition de l' état plastique vers l' état élastique. Nous prouvons que la solution approchée converge sur tout intervalle de temps ni vers la solution de l'inéquation, lorsque la taille du saut tend vers 0. Ensuite, nous défi nissons une inéquation variationnelle stochastique pour modéliser un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc filtré. Nous prouvons la propriété ergodique du processus sous-jacent et nous caractérisons sa mesure invariante. Nous étendons la méthode de A.Bensoussan et J.Turi avec une difficulté supplémentaire due à l'accroissement de la dimension. Finalement, dans un chapitre orienté vers l'expérimentation numérique, nous mettons en évidence par les simulations probabilistes le phénomène de phases micro-élastiques. Leur impact concerne des grandeurs utiles a l'ingénieur comme la fréquence des déformations plastiques. Un critère empirique qui peut ^etre utile à l'ingénieur est fourni afin de ne pas prendre en compte les phases micro-élastiques et ainsi évaluer d'une façon réaliste, à partir de la mesure invariante, les statistiques de la déformation plastique d'un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc.