Méthodes algébriques robustes pour le calcul géométrique

• Main Author: Mantzaflaris, Angelos
• Language: ENG
• Published: Université de Nice Sophia-Antipolis 2011
• Subjects: [INFO:INFO_SC] Computer Science/Symbolic Computation; [INFO:INFO_CG] Computer Science/Computational Geometry; [INFO:INFO_IA] Computer Science/Computer Aided Engineering; isolation des racines; fractions continues; point singulier isolé; déflation de racine; arrangement des courbes; ensemble semi-algébrique; diagramme de Voronoi; algorithme de sous-division
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00651672; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/65/16/72/PDF/thesis_am.pdf; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/65/16/72/IMG/thesis.jpg

Le calcul géométrique en modélisation et en CAO nécessite la résolution approchée, et néanmoins certifiée, de systèmes polynomiaux. Nous introduisons de nouveaux algorithmes de sous-division afin de résoudre ce problème fondamental, calculant des développements en fractions continues des coordonnées des solutions. Au delà des exemples concrets, nous fournissons des estimations de la complexité en bits et des bornes dans le modèle de RAM réelle. La difficulté principale de toute méthode de résolution consiste en les points singuliers isolés. Nous utilisons les systèmes locaux inverses et des calculs numériques certifiés afin d'obtenir un critère de certification pour traiter les solutions singulières. Ce faisant, nous sommes en mesure de vérifier l'existence et l'unicité des singularités d'une structure de multiplicité donnée. Nous traitons deux principales applications géométriques. La première: l'approximation des ensembles semi-algébriques plans, apparaît fréquemment dans la résolution de contraintes géométriques. Nous présentons un algorithme efficace pour identifier les composants connexes et pour calculer des approximations polygonales et isotopiques à l'ensemble exact. Dans un deuxième temps, nous présentons un cadre algébrique afin de calculer des diagrammes de Voronoi. Celui-ci sera applicable à tout type de diagramme dans lequel la distance à partir d'un site peut être exprimé par une fonction polynomiale à deux variables (anisotrope, diagramme de puissance etc). Si cela n'est pas possible (par exemple diagramme de Apollonius, VD des ellipses etc), nous étendons la théorie aux distances implicitement données.