Modèles et asymptotiques des interfaces fines et périodiques en électromagnétisme

• Main Author: Delourme, Bérangère
• Language: fra
• Published: Université Pierre et Marie Curie - Paris VI 2010
• Subjects: [MATH:MATH_NA] Mathematics/Numerical Analysis; [MATH:MATH_NA] Mathématiques/Analyse numérique; développements asymptotiques raccordés; homogénéisation périodique; condition de transmission approchée; équations de Maxwell; équation de Helmholtz
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00650354; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/65/03/54/PDF/TheseDelourme.pdf

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des équations de Maxwell dans une structure périodique constituée d'un anneau mince de matériau diélectrique de rayon moyen r à l'intérieur duquel s'enroulent deux nappes de fils hélicoïdaux. L'épaisseur de l'anneau et la distance entre deux fils consécutifs sont du même ordre de grandeur d et nous supposons que d est bien inférieur à la longueur d'onde de l'onde incidente ainsi qu'au rayon moyen r. La présence des deux échelles rend les simulations numériques directes difficiles (il est alors nécessaire de mailler la structure à l'échelle du fil). C'est pourquoi nous construisons des modèles approchés dans lesquels l'anneau périodique est remplacé par une condition de transmission posée sur l'interface médiane S. La résolution du modèle approché par une méthode d'éléments finis est bien moins coûteuse que celle du problème exact car il n'y a plus besoin de mailler les fils. La construction des modèles approchés repose sur un développement asymptotique de la solution en fonction du petit paramètre d. Nous utilisons une méthode couplant les techniques d'homogénéisation et des développements asymptotiques raccordés. Les conditions de transmission approchées se construisent alors à l'aide du développement asymptotique tronqué. Nous accordons une attention particulière à la stabilisation des modèles approchés ainsi qu'à leur justification théorique. Enfin, nous validons nos modèles par des simulations numériques.