Limite d'échelle de cartes aléatoires en genre quelconque

• Main Author: Bettinelli, Jérémie
• Language: English
• Published: Université Paris Sud - Paris XI 2011
• Subjects: [MATH] Mathematics; [MATH] Mathématiques; Cartes aléatoires; Arbres aléatoires; Limite d'échelle; Processus conditionnés; Convergence régulière; Topologie de Gromov; Dimension de Hausdorff; Arbre continu brownien; Espaces métriques aléatoires
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00638065; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/64/73/30/PDF/VA_BETTINELLI_JEREMIE_26_10_2011.pdf

Au cours de ce travail, nous nous intéressons aux limites d'échelle de deux classes de cartes. Dans un premier temps, nous regardons les quadrangulations biparties de genre strictement positif g fixé et, dans un second temps, les quadrangulations planaires à bord dont la longueur du bord est de l'ordre de la racine carrée du nombre de faces. Nous voyons ces objets comme des espaces métriques, en munissant leurs ensembles de sommets de la distance de graphe, convenablement renormalisée. Nous montrons qu'une carte prise uniformément parmi les cartes ayant n faces dans l'une de ces deux classes tend en loi, au moins à extraction près, vers un espace métrique limite aléatoire lorsque n tend vers l'infini. Cette convergence s'entend au sens de la topologie de Gromov--Hausdorff. On dispose de plus des informations suivantes sur l'espace limite que l'on obtient. Dans le premier cas, c'est presque sûrement un espace de dimension de Hausdorff 4 homéomorphe à la surface de genre g. Dans le second cas, c'est presque sûrement un espace de dimension 4 avec une frontière de dimension 2, homéomorphe au disque unité de R^2. Nous montrons en outre que, dans le second cas, si la longueur du bord est un petit~o de la racine carrée du nombre de faces, on obtient la même limite que pour les quadrangulations sans bord, c'est-à-dire la carte brownienne, et l'extraction n'est plus requise.