Groupes, corps et extensions de Polya : une question de capitulation

• Main Author: Leriche, Amandine
• Language: FRE
• Published: Université de Picardie Jules Verne 2010
• Subjects: [MATH] Mathematics; Théorie algébrique des nombres; algèbre commutative; polynômes à valeurs entières; corps de classes; corps de genre; corps de Polya; groupe de Polya; extension de Polya
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00612597; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/61/25/97/PDF/ThA_se_A._Leriche.pdf

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'ensemble $Int\left(\mathcal O _K \right)$ des polynômes à valeurs entières sur l'anneau $\mathcal{O}_K$ des entiers d'un corps de nombres $K$. Selon Pólya, une base $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ du $\mathcal O _K$-module $Int\left(\mathcal O _K \right)$ est dite régulière si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\deg(f_{n})=n$. Un corps $K$ tel que $ Int \left(\mathcal{O}_K \right)$ possède une base régulière est dit de Pólya et le groupe de Pólya d'un corps de nombres $K$ est un sous-groupe du groupe de classes de $K$ qui peut être considéré comme une mesure de l'écart pour un corps au fait d'être de Pólya. Nous étudions le groupe de Pólya d'un compositum $L= K_1 K_2$ de corps de nombres galoisiens et établissons des liens avec la ramification des nombres premiers dans chacune des extensions $K_1 /\mathbb{Q}$ et $K_2 /\mathbb{Q}$. Nous appliquons ces résultats aux corps de nombres de petit degré afin d'élargir la famille des corps de Pólya quadratiques déjà caractérisés. Par ailleurs, une condition pour qu'un corps de nombres $K$ soit de Pólya est que tous les produits d'idéaux de $K$ de même norme soient principaux. Par analogie avec le problème classique du plongement, on peut se poser la question suivante : tout corps de nombres $K$ peut-il être plongé dans un corps de Pólya? Nous donnons une réponse positive à cette question : pour tout corps $K$, le corps de classes de Hilbert $H_K$ de $K$ est un corps de Pólya . Toujours par analogie avec le problème de plongement où l'on sait que les idéaux de $\mathcal{O}_K$ deviennent principaux dans $\mathcal{O}_{H_K}$, on peut définir la notion d'extension de Pólya d'un corps $K$ : il s'agit de corps $L$ contenant $K$ dans lesquels le groupe de Pólya de $K$ devient trivial par extensions des idéaux, ce sont aussi des corps $L$ tels que le $\mathcal O _L$-module engendré par $Int\left(\mathcal O _K \right)$ possède une base régulière. Outre $H_K$ dans le cas général, dans le cas où $K$ est une extension abélienne, la capitulation des idéaux ambiges de $K$ montre que le corps de genre de $K$ en est une extension de Pólya. Ceci nous amène à des questions de minimalité et d'unicité concernant les corps et extensions de Pólya.