(a,b)-modules auto-adjoints et formes hermitiennes

• Main Author: Karwasz, Piotr P.
• Language: ENG
• Published: Université Henri Poincaré - Nancy I 2009
• Subjects: [MATH] Mathematics; (a; b)-modules; singularités; géométrie complexe; module de Brieskorn; dualité
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00583888; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/58/38/88/IMG/uhpcou.jpg; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/58/38/88/PDF/these.pdf

Dans cette thèse nous présenterons un travail relatif à la théorie des (a,b)-modules. Nous nous intéresserons en particulier à trois problèmes liés à la dualité des (a,b)-modules: l'existence de formes hermitiennes, la symétrie des suites de Jordan-Hölder et la relation avec les "higher residue pairings" de K. Saito. Dans la première partie on étudie les équivalents des concepts de conjugué, adjoint et de forme hermitienne dans le contexte des (a,b)-modules. Dans notre analyse des formes hermitiennes nous sont amenés à définir la notion de (a,b)-module indécomposable et à montrer l'analogue du théorème de Krull-Schmidt dans la théorie des modules sur un anneau commutatif. On montre par la suite l'existence de formes ou bien hermitiennes ou anti-hermitiennes sur les modules réguliers indécomposables auto-adjoints et on donne un exemple non trivial de rang 4 admettant uniquement une forme anti-hermitienne. Suit une étude des suites de Jordan-Hölder de (a,b)-modules auto-adjoints. L'intérêt se porte en particulier sur les suites de Jordan-Hölder dites elles aussi auto-adjointes et on en montre l'existence, pour tout (a,b)-module régulier auto-adjoint. En guise de conclusion on applique les résultats obtenus aux (a,b)-modules associés à une hypersurface à singularité isolée, c'est-à-dire au complété formel de son module de Brieskorn. On montre que le symétrisé de l'isomorphisme avec l'adjoint donné par R. Belgrade satisfait aux axiomes donnés par K. Saito dans la présentation de ses "higher residue pairings".