Algorithmes de Factorisation de Polynomes et de Décomposition de Courbes

• Main Author: Bertone, Cristina
• Language: ENG
• Published: Université de Nice Sophia-Antipolis 2010
• Subjects: [MATH] Mathematics; décomposition de polynômes; décomposition de courbes; algorithme
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00560802; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/56/08/02/PDF/TheseHal.pdf

Les courbes algébriques affines sont un outil qui est appliqué dans plusieurs domains, par example le CAGD. Elles sont définies par des polynômes, mais souvent elles ont plusieurs composantes irréductibles distinctes. Dans cette thèse on développe des algorithmes efficaces pour la décomposition d'une courbe definie par des polynômes rationelles. Dans la première partie on présente un algorithme de factorisation absolue pour polynômes en deux variables (problème equivalent à la décomposition de courbes dans le plan). On part de l'algorithme existant TKTD et on améliore la définition de l'extension de corps nécessaire à la factorisation, utilisant des techniques modulaires et l'algorithme LLL pour identifier un nombre algébrique de son approximation p-adique. Dans la deuxième partie on passe au problème de décomposer une courbe dans l'espace tridimensionel: l'équivalent de la factorisation pour le cas du plan est la décomposition primaire d'un idéal pour le cas des 3 dimensions. D'abord on montre des bornes sur les degrées des surfaces qui séparent les différentes composantes, utilisant des résultats classiques de géometrie algébrique, comme le "Lifting problem" ou la regularité de Castelnuovo-Mumford. Après, on considère un algorithme de décomposition classique, mais pas efficace du point de vue computationel, auquel on applique les techniques modulaires. On obtient un algorithme modulaire qui donne la fonction d'Hilbert des composantes réduites de la courbe. Les deux algorithmes principales ont été testés sur plusieurs examples et comparés avec le temps d'exécution d'autres logiciels.