Points de Darmon et variétés de Shimura

• Main Author: Gartner, Jerome
• Language: FRE
• Published: Université Pierre et Marie Curie - Paris VI 2011
• Subjects: [MATH] Mathematics; Courbes elliptiques; points de Heegner; formule de Gross-Zagier; points de Stark-Heegner; variétés de Shimura; algèbres de quaternions
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00555470; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/55/54/70/PDF/these_jgartner.pdf

Cette thèse s'intéresse à la recherche de points rationnels sur les courbes elliptiques. Darmon et Logan ont proposé une construction conjecturale de points rationnels sur des courbes elliptiques modulaires définies sur un corps de nombres totalement réel. Cette construction va au delà de la construction classique des points de Heegner. C'est sur la généralisation de ces travaux que porte cette thèse. Après un premier chapitre de rappels concernant essentiellement les variétés de Shimura, on construit, dans le chapitre deux une forme différentielle dont l'ensemble des périodes est, sous une conjecture due à Yoshida, un réseau. On y définit aussi un ensemble de cycles dont la classe d'homologie est de torsion. A l'aide de ces données, on énonce au chapitre suivant une conjecture généralisant celle de Darmon et Logan. On s'interesse aussi aux propriétés de ces nouveaux points, principalement en lien avec les théorèmes "classiques" de Gross-Zagier et Gross-Kohnen-Zagier. Le chapitre 4 tente de rendre holomorphes les opérations du chapitre 2, et le chapitre 5 de les rendre plus explicites. Cette thèse comporte une annexe concernant les vérifications informatiques de la conjecture de Darmon.