Phénomène d'explosion et existence globale pour quelques problèmes paraboliques sous les conditions au bord dynamiques

• Main Author: Rault, Jean-François
• Language: FRE
• Published: Université du Littoral Côte d'Opale 2010
• Subjects: [MATH] Mathematics; Problème parabolique; explosion; conditions au bord dynamiques; existence globale
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00554915; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/56/20/70/PDF/JF-Rault.pdf

Cette thèse porte sur l'étude de plusieurs problèmes paraboliques non-linéaires sous les conditions au bord dynamiques. Premièrement, on considère l'équation de Burgers dans un domaine borné réel. On étudie les propriétés des solutions de cette équation lorsqu'on impose des conditions dynamiques sur le bord et lorsque la donnée initiale est positive. En utilisant des méthodes de comparaison, on s'intéresse à l'ordre de croissance et au point d'explosion des solutions régulières via une étude du profil de la solution. Ensuite, on étudie les solutions stationnaires de l'équation de Burgers, dans laquelle on ajoute un paramètre lambda. A l'aide d'une méthode de plan des phases, on démontre l'existence de solutions stationnaires sous différentes conditions au bord (Dirichlet et Neumann). Nous observons qu'en faisant varier le paramètre lambda, on provoque une bifurcation dans le plan des phases, ce qui se traduit de profonds changements dans les résultats d'existence des solutions stationnaires de l'équation de Burgers paramétrée sous les diverses conditions au bord considérées. Par le biais d'une technique basée sur l'étude de norme L-1 adéquates, nous démontrons des résultats d'explosion pour les solutions non-stationnaires de l'équation de Burgers paramétrée lorsque l'on se place dans un domaine réel non-borné. Finalement, on étudie le phénomène de Fujita. A l'aide des méthodes de comparaison, on montre que le phénomène de Fujita, connu dans le cas des conditions de Dirichlet et de Neumann, reste vrai sous les conditions au bord dynamiques. Adaptant notre technique, on prouve que ce phénomène est également vrai sous les conditions au bord de Robin.