Processus de Langevin réfléchis au second ordre

• Main Author: Jacob, Emmanuel
• Language: FRE
• Published: Université Pierre et Marie Curie - Paris VI 2010
• Subjects: [MATH] Mathematics; processus de Langevin; réflexion au second ordre; théorie des excursions; stationnarité; théorie du renouvellement; équation differentielle stochastique
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00550719; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/55/07/19/PDF/ThA_se.pdf

Cette thèse propose une rencontre entre un objet stochastique, le processus de Langevin, c'est-à-dire l'intégrale du mouvement brownien, et une équation différentielle, celle du rebond ''au second ordre'', laquelle, à ma connaissance, a été étudiée jusqu'ici presque exclusivement dans un cadre déterministe. Historiquement, le processus de Langevin était un modèle concurrent du mouvement brownien pour décrire les trajectoires erratiques de particules comme celles observées par Brown. Au même titre, les processus de Langevin réfléchis au second ordre sont un modèle concurrent des mouvements browniens réfléchis, lesquels sont toujours réfléchis au premier ordre, selon notre terminologie. Si le processus de Langevin - respectivement le processus de Langevin réfléchi au second ordre - ne prétend pas rivaliser avec le mouvement brownien -- respectivement le mouvement brownien réfléchi -- pour ce qui est de son rayonnement et de son champ d'applications dans des domaines variés, il se prétend néanmoins être un modèle physique plus pertinent. Par ailleurs, pour la réflexion au second ordre déterministe, lorsque la force a un caractère fortement oscillant, l'équation différentielle admet, de manière assez générique, plusieurs solutions. Lorsque c'est un processus de Langevin qui est réfléchi, nous devons considérer l'équation différentielle, stochastique maintenant, lorsque la force est un bruit blanc... Nos prouverons néanmoins toujours l'existence d'une unique solution, au sens faible. Ces résultats contrastent fortement avec les résultats de non-unicité pour l'équation déterministe. Cette thèse s'articule autour de quatre chapitres. Le premier est une large partie introductrice, rédigée en français, dans un style discursif. Les trois suivants sont, tels quels, les articles que j'ai écrits (en anglais) au cours de cette thèse, publiés ou en voie de publication. Dans le premier chapitre, je commence par décrire le contexte historique, ancien comme récent, motivant cette étude. J'introduis d'une part la réflexion au second ordre, d'autre part le processus de Langevin et en particulier ses excursions, rappelant des résultats connus auxquels nous ferons appel. Je donne alors un aperçu de plusieurs notions et outils techniques que nous utiliserons. Il s'agit d'abord, en plus de la célèbre mesure d'excursion d'Itô d'un processus markovien, de la mesure d'excursion de Pitman d'un processus stationnaire. Il s'agit ensuite du principe des h-transformées, au sens de Doob, utilisées pour définir des processus de Markov conditionnés. Enfin, je résume en détail (et en français) les trois chapitres suivants. Le deuxième chapitre comporte d'abord une introduction au processus de Langevin stationnaire, puis une étude de sa mesure d'excursion de Pitman. Ce travail est alors appliqué à l'étude du processus de Langevin réfléchi sur une barrière totalement inélastique. Le troisième chapitre commence l'étude du processus de Langevin réfléchi sur une barrière partiellement élastique. Nous mettons en évidence l'existence de deux régimes bien distincts, selon la valeur du coefficient d'élasticité de la réflexion, comparée à la valeur critique c~0,163. En régime surcritique et critique, la principale difficulté est liée au cas où le processus réfléchi part de zéro avec vitesse nulle. Nous montrons que le processus reste alors bien défini de manière unique. Le quatrième chapitre s'attaque au régime sous-critique, plus difficile. En particulier, quelle que soit la condition initiale, en un temps fini le processus se retrouvera en 0 avec vitesse nulle. Nous montrons encore l'existence d'un unique processus réfléchi, décrit cette fois-ci via sa mesure d'excursion d'Itô.