Phénomènes d'accrochage et théorie des fluctuations.

• Main Author: Sohier, Julien
• Language: FRE
• Published: Université Paris-Diderot - Paris VII 2010
• Subjects: [MATH] Mathematics; Modèles d'accrochage; Subordinateur; Théorie du renouvellement; Longueur de corrélation; Marches aléatoires conditionnées à être positives; Mécanique statistique; Limites d'échelle
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00534716; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/53/47/16/PDF/these.pdf

Ce travail s'articule en deux parties principales: on illustre d'abord la notion de longueur de corrélation pour des systèmes d'accrochage homogènes proche du point critique en montrant la convergence en loi du système renormalisé vers un sous ensemble fermé aléatoire du segment [0,1] possédant une densité (explicite) par rapport à l'ensemble régénératif d'indice alpha, où alpha est une donnée initiale du modèle. On s'intéresse dans une deuxième partie au problème du mouillage dans une bande; les récompenses/pénalités sont reçues dans une bande de largeur strictement positive fixée, le processus libre étant modélisé par une marche aléatoire S continue centrée de carré intégrable. On montre que le système subit une transition de phase standard de localisation/délocalisation, et on explicite les limites d'échelle du processus renormalisé dans chacune de ces phases. Pour obtenir ces limites d'échelle, on démontre deux résultats indépendants reliés à la théorie des fluctuations pour les marches aléatoires; ceux-ci présentent un intérêt propre et font l'objet des deux dernières parties de la thèse. Le premier concerne le comportement asymptotique de la distribution du lieu du premier temps d'atteinte du demi plan inférieur pour S, où S part d'un point (strictement) situé dans le demi plan supérieur. Notons que cette estimation est uniforme sur l'ensemble des réels négatifs. Le second résultat concerne la convergence en loi dans la limite d'échelle de S conditionnée à être positive, à partir d'un point proche de l'origine et à revenir proche de l'origine. On montre que ce processus converge en loi vers l'excursion brownienne renormalisée.