Études combinatoires des nombres de Jacobi-Stirling et d'Entringer

• Main Author: Gelineau, Yoann
• Language: FRE
• Published: Université Claude Bernard - Lyon I 2010
• Subjects: [MATH] Mathematics; Combinatoire; Nombres de Jacobi-Stirling; Nombres d'Entringer; Bijections; Arbres d'André; Permutations alternantes; Nombres de Stirling; Nombres factoriels centraux
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00531200; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/70/77/77/PDF/TH2010_Gelineau_Yohann.pdf

Cette thèse se divise en 2 grandes parties indépendantes ; la première traitant des nombres de Jacobi-Stirling, la seconde abordant les nombres d'Entringer. La première partie introduit les nombres de Jacobi-Stirling de seconde et de première espèce comme coefficients algébriques dans des relations polynomiales. Nous donnons des interprétations combinatoires de ces nombres, en termes de partitions d'ensembles et de quasi-permutations pour les nombres de seconde espèce, et en termes de permutations pour les nombres de première espèce. Nous étudions également les fonctions génératrices diagonales de ces familles de nombres, ainsi qu'une de leur généralisation sur le modèle des r-nombres de Stirling. La seconde partie introduit les nombres d'Entringer à l'aide de leur interprétation en termes de permutations alternantes. Nous étudions les différentes formules de récurrence vérifiées par ces nombres et généralisons ces résultats à l'aide d'un q-analogue utilisant la statistique d'inversion. Nous verrons également que ces résultats peuvent être étendus à des permutations de forme donnée quelconque. Enfin, nous définissons la notion de famille d'Entringer, et établissons des bijections entre certaines de ces familles. En particulier, nous établissons une bijection reliant les permutations alternantes de premier terme fixé, aux arbres binaires croissants dont l'extrémité du chemin minimal est fixée.