Quelques problèmes de transport et de contrôle en économie: aspects théoriques et numériques

• Main Author: Lachapelle, Aimé
• Language: FRE
• Published: Université Paris Dauphine - Paris IX 2010
• Subjects: [MATH] Mathematics; Jeux à champ moyen; contrôle optimal; transport optimal; approximations numériques; calcul des variations; contrôle de Fokker-Planck; économie mathématique
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00512404; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/51/24/04/PDF/these_lachapelle.pdf

Dans cette thèse on explore l'utilisation du contrôle optimal et du transport de masse pour la modélisation économique. Nous saisissons ainsi l'occasion de réunir plusieurs travaux faisant intervenir ces deux outils, parfois en interactions l'un avec l'autre. Dans un premier temps nous présentons brièvement la récente théorie des jeux à champ moyen introduite par Lasry et Lions et nous concentrons sur le point de vue du contrôle de l'équation de Fokker-Planck. Nous exploitons cet aspect à la fois pour obtenir des résultats d'existence d'équilibres et pour développer des méthodes numériques de résolution. Nous testons les algorithmes dans deux cas complémentaires à savoir le cadre convexe (aversion à la foule, dynamiques à deux populations) et le cadre concave (attraction, externalités et effets d'échelle dans un modèle stylisé de transition technologique). Dans un second temps, nous étudions un problème de matching mêlant transport optimal et contrôle optimal. Le planificateur cherche un couplage optimal, fixé pour une période donnée (engagement), étant donné que les marges évoluent (éventuellement aléatoirement) de façon contrôlée. Enfin, nous reformulons un problème de partage de risque entre d agents (pour lequel nous prouvons un résultat d'existence) en un problème de contrôle optimal avec contraintes de comonotonie; ceci nous permet d'obtenir des conditions d'optimalité à l'aide desquelles nous construisons un algorithme simple et convergent.