Immeubles affines et groupes de Kac-Moody

• Main Author: Charignon, Cyril
• Language: FRE
• Published: 2010
• Subjects: [MATH] Mathematics; groupe; masure; immeuble; Kac-Moody; Bruhat-Tits
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00497961; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/49/79/61/PDF/these.pdf

La théorie des immeubles propose d'associer à certains groupes un espace topologique, appelé immeuble, sur lequel le groupe agit. Ceci permet de traduire les propriétés algébriques du groupe en des propriétés géométriques de l'immeuble, facilitant nombre de raisonnements. Les immeubles dits affines forment une famille importante d'immeubles, ils ont étés introduit par François Bruhat et Jacques Tits. Ils sont associés aux groupes réductifs sur des corps locaux et permettent notamment de caractériser leurs sous-groupes compacts. Le but premier de cette thèse est d'étendre la théorie de Bruhat et Tits à des groupes de Kac-Moody, qui sont une généralisation en dimension infinie des groupes réductifs. Nous essayerons donc, partant d'un tel groupe G sur un corps local de définir un espace topologique I aussi proche que possible d'un immeuble. Il semble impossible d'obtenir véritablement un immeuble affine, les espaces que nous trouverons seront appelés des "masures". Une méthode récurrente lors de ce travail sera d'isoler des sous-groupes de G, dits "paraboliques", qui sont de dimension finie, et auxquels la théorie de Bruhat et Tits s'applique donc. Ils disposent donc de véritables immeubles affines, et ceux-ci peuvent être vus comme un bord à l'infini de la masure. Dans le cas où G est un groupe réductif, la réunion de tous ces immeubles affines à l'infini fournit une compactification de l'immeuble de G appelé compactification polyédrique, ou de Satake. L'étude de cette compactification est l'objet d'une première partie de cette thèse.