Géométrie des variétés de Deligne-Lusztig, décompositions, cohomologie modulo \ell et représentations modulaires

• Main Author: Dudas, Olivier
• Language: FRE
• Published: Université de Franche-Comté 2010
• Subjects: [MATH] Mathematics; groupes réductifs finis; théorie de Deligne-Lusztig; décomposition de Deodhar; décomposition de Bialynicki-Birula; modules de Gelfand-Graev; modules de Gelfand-Graev généralisés; arbres de Brauer; conjecture de Broué
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00492848; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/49/28/48/PDF/TheseDudasElectronique.pdf

Cette thèse porte sur la construction et l'étude des représentations modulaires des groupes réductifs finis. Comme dans le cas ordinaire, l'accent est mis sur les constructions de nature géométrique, obtenues à partir de la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. On commence par introduire des méthodes de décomposition du type Deodhar, permettant de déterminer en toute généralité la présence d'une classe particulière de représentations, les modules de Gelfand-Graev, ainsi que certaines de leurs versions généralisées. Des résultats plus précis sont ensuite démontrés pour des variétés associées à certains éléments réguliers de petite longueur. Le cas des éléments de Coxeter tient une place importante dans ce mémoire : pour ces éléments, on détermine un représentant explicite du complexe de cohomologie, aboutissant à une preuve de la version géométrique de la conjecture de Broué pour certains nombres premiers. On en déduit aussi la forme de l'arbre de Brauer du bloc principal dans ce cas, ce qui résout une conjecture de Hiss, Lübeck et Malle. Ces deux résultats sont conditionnés par une hypothèse assurant l'absence de torsion dans la cohomologie, dont on montre qu'elle est satisfaite pour de nombreux groupes classiques et exceptionnels.