Bornes dynamiques pour des opérateurs de Schrödinger quasi-périodiques

• Main Author: Marin, Laurent
• Language: fra
• Published: Université d'Orléans 2009
• Subjects: [MATH] Mathematics; [MATH] Mathématiques; Potentiel sturmien; Borne dynamique
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00482512; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/48/25/12/PDF/2009ORLE2042_0_0.pdf

Nous nous intéressons dans ce travail à la dynamique des opérateurs de Schrödinger unidimensionnels, discrets, associés à un potentiel sturmien quasi-périodique. Le résultat principal de cette thèse est une borne supérieure pour les exposants de transport qui mesurent la vitesse de propagation du système. Cette borne, valide pour presque tous les potentiels sturmiens, est sous balistique pour une force de couplage suffisante. La validité de la borne est couplée à une condition diophantienne liée au nombre irrationnel qui définit le potentiel. Cette condition est vraie presque sûrement. Nous exhibons par ailleurs un exemple d'irrationnel pour lequel une borne supérieure sous balistique est impossible indépendamment de la force de couplage. Nous faisons l'étude de la dimension fractale du spectre de l'opérateur qui minore sous certaines conditions les exposants de transport. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure pour la dimension de boîte du spectre grâce aux propriétés connues sur la forme du pseudo spectre. Les restrictions pour obtenir une borne dynamique à partir de notre résultat sont d'avoir une condition initiale cyclique standard et que le potentiel soit associé à un irrationnel à densité bornée. Enfin dans la dernière partie de ce travail, nous démontrons que le spectre de l'opérateur associé au nombre d'argent ß = [2, 2, . . . ] possède une structure hyperbolique. L'expression du pseudo spectre peut être vu comme un système dynamique. Nous conjuguons ledit système à une dynamique symbolique abstraite selon la méthode dite des partitions de Markov. Le système se comporte comme un fer à cheval de Smale. Nous dérivons de l'hyperbolicité des propriétés pour les dimensions fractales du spectre. Dimensions dont l'attrait dynamique a été rappelé dans la partie précédente. Nous déduisons notamment l'égalité des dimensions de Hausdorff et de boîte pour cet opérateur.