De nouveaux résultats sur la géométrie des mosaïques de Poisson-Voronoi et des mosaïques poissoniennes d'hyperplans. Etude du modèle de fissuration de Rényi-Widom

• Main Author: Calka, Pierre
• Language: FRE
• Published: Université Claude Bernard - Lyon I 2002
• Subjects: [MATH] Mathematics; Cellule de Crofton; cellule typique; chaïne de Markov; distributions empiriques; fissuration; géométrie stochastique; mesure de Palm; mosaïque de Johnson-Mehl; mosaïque de Poisson-Voronoi; mosaïque poissonienne d'hyperplans; pont brownien; processus de renouvellement; processus ponctuel stationnaire; recouvrement du cercle; relaxation de la contrainte; spectre du Laplacien
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00448216; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/44/82/16/PDF/TheseCalka051202.pdf

Cette thèse traite de trois modèles de géométrie aléatoire: les mosaïques de Poisson-Voronoi, les mosaïques poissoniennes d'hyperplans et le modèle de fissuration unidirectionnel de Rényi-Widom. Nous montrons tout d'abord l'équivalence entre les deux approches historiques pour l'étude statistique des mosaïques: la convergence des moyennes ergodiques et la définition au sens de Palm de la cellule typique. Nous donnons ensuite en dimension deux la loi du nombre de sommets de la cellule typique et conditionnellement à ce nombre, les lois des positions des frontières, de l'aire et du périmètre. De plus, nous explicitons la loi conjointe des rayons des disques centrés en l'origine inscrit dans (resp. circonscrit à) la cellule typique et nous en déduisons le caractère circulaire des "grandes cellules". Dans le cas Poisson-Voronoi, nous relions en toute dimension la fonction spectrale de la cellule typique au pont brownien, ce qui permet en particulier d'estimer asymptotiquement la loi de la première valeur propre en dimension deux. Dans le cas des mosaïques poissoniennes d'hyperplans, nous exploitons les techniques de Palm pour en déduire une construction explicite en toute dimension de la cellule typique à partir de sa boule inscrite et de son simplexe circonscrit. Une preuve rigoureuse d'un résultat de R. E. Miles lorsqu'on épaissit les hyperplans est également donnée. Par ailleurs, nous modélisons un phénomène de fissuration par un processus unidimensionnel stationnaire dont nous calculons la loi de la distance inter-fissures typique. Nous montrons en outre que les points successifs sont ceux d'un processus de renouvellement conditionné explicite.