Sur l'algèbre et la combinatoire des sous-graphes d'un graphe

• Main Author: Buchwalder, Xavier
• Language: fra
• Published: Université Claude Bernard - Lyon I 2009
• Subjects: [MATH] Mathematics; [MATH] Mathématiques; Reconstruction; Graphes; Conjecture d'Ulam; Sous-ensembles; Algèbre d'invariants; Ensemble partiellement ordonné; Groupe agissant sur un ensemble partiellement ordonné; Coefficients binomiaux
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00441324; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/60/37/72/PDF/TH2009_Buchwalder_-_Xavier.pdf

On introduit une nouvelle structure algébrique qui formalise bien les problèmes de reconstruction, assortie d'une conjecture qui permettrait de traiter directement des symétries. Le cadre fournit par cette étude permet de plus d'engendrer des relations qui ont lieu entre les nombres de sous-structures, et d'une certaine façon, la conjecture formulée affirme qu'on les obtient toutes. De plus, la généralisation des résultats précédemment obtenus pour la reconstruction permet de chercher 'a en apprécier les limites en recherchant des cas où ces relations sont optimales. Ainsi, on montre que les théorèmes de V.Müller et de L.Lovasz sont les meilleurs possibles en exhibant des cas limites. Cette généralisation aux algèbres d'invariants, déjà effectuée par P.J.Cameron et V.B.Mnukhin, permet de placer les problèmes de reconstruction en tenaille entre d'une part des relations (fournies) que l'on veut exploiter, et des exemples qui établissent l'optimalité du résultat. Ainsi, sans aucune donnée sur le groupe, le résultat de L.Lovasz est le meilleur possible, et si l'on considère l'ordre du groupe, le résultat de V.Müller est le meilleur possible.