Contrôlabilité et stabilisation frontière pour l'équation de Korteweg-de Vries.

• Main Author: Cerpa, Eduardo
• Language: FRE
• Published: Université Paris Sud - Paris XI 2008
• Subjects: [MATH] Mathematics; Contrôlabilité; stabilisation; Korteweg-de Vries
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00425316; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/42/53/16/PDF/cerpa-tesis.pdf

Dans cette thèse, nous allons considérer un système de contrôle dont l'état est donné par la solution de l'équation de Korteweg-de Vries (KdV) posée sur un intervalle borné. On imposera des conditions Dirichlet homogènes aux bords et le contrôle portera sur la condition Neumann à droite de l'intervalle. Nous allons considérer deux types de problèmes qui sont étroitement liés : la contrôlabilité et la stabilisation. Les chapitres 2 et 3 sont consacrés a étudier la contrôlabilité sur quelques domaines pour lesquels le système linéaire n'est pas contrôlable. Notre but est de démontrer que malgré cette perte de contrôlabilité du système linéaire, la non-linéarité nous permet d'obtenir la contrôlabilité pour le système non linéaire. Pour faire ceci nous allons utiliser la méthode de développement en séries entières, introduite dans le cadre de la dimension infinie par J.-M. Coron et E. Crépeau dans [J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 6, no. 3, pp. 367-398, 2004]. La méthode consiste à bouger le système le long des directions manquantes pour le système linéaire par des développements d'ordre supérieur à un, et puis à appliquer un théorème de point fixe. Dans le chapitre 4, on étudiera la stabilisation pour notre système. Le but de cette partie est de construire des lois de feedback tel que le système en boucle fermée ait une décroissance exponentielle vers zéro avec un taux de décroissance arbitraire. La méthode utilisée est due a J. M. Urquiza qui l'a introduite dans [SIAM J. Control Optim., V. 43, no. 6, pp 2233-2244, 2005]. Pour être en mesure d'appliquer cette méthode, une analyse spectrale de l'opérateur de KdV stationnaire est nécessaire.