Estimation par sélection de modèle en régression hétéroscédastique

• Main Author: Gendre, Xavier
• Language: FRE
• Published: Université de Nice Sophia-Antipolis 2009
• Subjects: [MATH] Mathematics; statistique non-asymptotique; sélection de modèle; pénalisation; inégalité oracle; régression non-paramétrique; hétéroscédastique; modèle additif; adaptativité; vitesse minimax; risque de Kullback
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00397608; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/39/76/08/PDF/these.pdf

Cette thèse s'inscrit dans les domaines de la statistique non-asymptotique et de la théorie statistique de la sélection de modèle. Son objet est la construction de procédures d'estimation de paramètres en régression hétéroscédastique. Ce cadre reçoit un intérêt croissant depuis plusieurs années dans de nombreux champs d'application. Les résultats présentés reposent principalement sur des inégalités de concentration et sont illustrés par des applications à des données simulées.<br /><br />La première partie de cette thèse consiste dans l'étude du problème d'estimation de la moyenne et de la variance d'un vecteur gaussien à coordonnées indépendantes. Nous proposons une méthode de choix de modèle basée sur un critère de vraisemblance pénalisé. Nous validons théoriquement cette approche du point de vue non-asymptotique en prouvant des majorations de type oracle du risque de Kullback de nos estimateurs et des vitesses de convergence uniforme sur les boules de Hölder.<br /><br />Un second problème que nous abordons est l'estimation de la fonction de régression dans un cadre hétéroscédastique à dépendances connues. Nous développons des procédures de sélection de modèle tant sous des hypothèses gaussiennes que sous des conditions de moment. Des inégalités oracles non-asymptotiques sont données pour nos estimateurs ainsi que des propriétés d'adaptativité. Nous appliquons en particulier ces résultats à l'estimation d'une composante dans un modèle de régression additif.