Résidus de 2-formes différentielles sur les surfaces algébriques et applications aux codes correcteurs d'erreurs
La théorie des codes géométriques s'est développée au début des années 80 sur l'impulsion d'un article de V.D. Goppa publié en 1981. Etant donnée une courbe algébrique projective lisse X sur un corps fini, on dispose de deux constructions de codes correcteurs d'erreurs. Une const...
| Main Author: | |
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| Language: | FRE |
| Published: |
Université Paul Sabatier - Toulouse III
2008
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| Online Access: | http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00376546 http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/37/65/46/PDF/these_version_finale.pdf |
| Summary: | La théorie des codes géométriques s'est développée au début des années 80 sur l'impulsion d'un article de V.D. Goppa publié en 1981. Etant donnée une courbe algébrique projective lisse X sur un corps fini, on dispose de deux constructions de codes correcteurs d'erreurs. Une construction dite fonctionnelle qui fait intervenir certaines fonctions rationnelles sur X et une construction différentielle qui fait appel à certaines 1-formes différentielles rationnelles sur X . L'étude de ces codes construits sur des courbes a donné lieu à la publication de plusieurs centaines d'articles. Parallèlement à ces travaux, une généralisation de la construction fonctionnelle à des variétés algébriques de dimension quelconque est proposée par Y. Manin dans un article publié en 1984. On dénombre quelques dizaines de travaux publiés portant sur l'étude de tels codes. Cependant, aucun développement n'a été effectué dans le sens d'une généralisation de la construction différentielle. Dans cette thèse nous proposons une construction différentielle de codes sur des surfaces algébriques. Nous étudions ensuite les propriétés de ces codes et plus particulièrement leurs relations avec les codes fonctionnels. De façon un peu surprenante, on observe l'apparition d'une différence majeure avec le cas des courbes. En effet, si sur une courbe l'orthogonal d'un code fonctionnel est différentiel, ce fait est en général faux sur une surface. Ce résultat motive l'étude des orthogonaux de codes fonctionnels. Des formules pour l'estimation de la distance minimale de tels codes sont données en utilisant des propriétés de systèmes linéaires sur une variété. On montre également que, sous certaines conditions sur la surface, ces codes sont somme de codes différentiels et que des réponses à certains problèmes ouverts de géométrie algébrique "à la Bertini" fourniraient des informations supplémentaires sur les paramètres de ces codes. |
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