Pièges dans la théorie des feuilletages : exemples et contre-exemples
Dans ce travail, nous nous intéressons à deux questions. La première est de savoir si les champs de vecteurs non singuliers et géodésibles sur une variété fermée de dimension trois ont des orbites périodiques. La seconde, étudie les relations entre les feuilletages moyennables et les feuilletages do...
| Main Author: | |
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| Language: | ENG |
| Published: |
Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON
2009
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| Online Access: | http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00361633 http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/36/16/33/PDF/these.pdf |
| Summary: | Dans ce travail, nous nous intéressons à deux questions. La première est de savoir si les champs de vecteurs non singuliers et géodésibles sur une variété fermée de dimension trois ont des orbites périodiques. La seconde, étudie les relations entre les feuilletages moyennables et les feuilletages dont toutes les feuilles sont Folner. L'idée commune dans ces deux problèmes est l'utilisation de pièges: un outil qui nous permet de changer un feuilletage à l'intérieur d'une carte feuilletée.<br /> <br /> Dans le premier chapitre nous abordons la première question. On dit qu'un champ de vecteurs non singulier est géodésible s'il existe une métrique riemannienne sur la variété ambiante pour laquelle toutes les orbites sont des géodésiques. Soit X un tel champ de vecteurs sur une variété fermée de dimension trois. Supposons que la variété est difféomorphe à la sphère ou son deuxième groupe d'homotopie est non trivial. Pour ces variétés, on montre que si X est analytique réel ou s'il préserve une forme volume, il possède une orbite périodique. <br /><br />Le deuxième chapitre est dédié à la seconde question. En 1983, R. Brooks avait annoncé qu'un feuilletage dont presque toutes les feuilles sont Folner est moyennable. A l'aide d'un piège, on va construire un contre-exemple à cette affirmation, c'est-à-dire un feuilletage non moyennable dont toutes les feuilles sont Folner. <br />Nous cherchons ensuite des conditions suffisantes sur le feuilletage pour que l'énoncé de R. Brooks soit valable. Comme suggéré par V. A. Kaimanovich, une possibilité est supposer que le feuilletage soit minimal. On montre que cette hypothèse est suffisante en utilisant un théorème de D. Cass que décrit les feuilles minimales. |
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