Étude d'intégrateurs géométriques pour des équations différentielles

• Main Author: Vilmart, Gilles
• Language: English
• Published: Université Rennes 1 2008
• Subjects: [MATH] Mathematics; [MATH] Mathématiques; Méthodes numériques géométriques pour des équations différentielles; systèmes hamiltoniens; intégrateurs symplectiques; théorie des Butcher-séries; algèbres de Hopf d'arbres; intégrateurs pour la dynamique d'un corps rigide; méthodes numériques pour le contrôle optimal; méthodes de pas fractionnaire (splitting) pour les équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles paraboliques
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00348112; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/34/81/12/PDF/these-vilmart.pdf

Le sujet de la thèse est l'étude et la construction de méthodes numériques géométriques pour les équations différentielles, qui préservent des propriétés géométriques du flot exact, notamment la symétrie, la symplecticité des systèmes hamiltoniens, la conservation d'intégrales premières, la structure de Poisson, etc.<br />Dans la première partie, on introduit une nouvelle approche de construction d'intégrateurs numériques géométriques d'ordre élevé en s'inspirant de la théorie des équations différentielles modifiées. Le cas des méthodes développables en B-séries est spécifiquement analysé et on introduit une nouvelle loi de composition sur les B-séries. L'efficacité de cette approche est illustrée par la construction d'un nouvel intégrateur géométrique d'ordre élevé pour les équations du mouvement d'un corps rigide. On obtient également une méthode numérique précise pour le calcul de points conjugués pour les géodésiques du corps rigide.<br />Dans la seconde partie, on étudie dans quelle mesure les excellentes performances des méthodes symplectiques, pour l'intégration à long terme en astronomie et en dynamique moléculaire, persistent pour les problèmes de contrôle optimal. On discute également l'extension de la théorie des équations modifiées aux problèmes de contrôle optimal.<br />Dans le même esprit que les équations modifiées, on considère dans la dernière partie des méthodes de pas fractionnaire (splitting) pour les systèmes hamiltoniens perturbés, utilisant des potentiels modifiés. On termine par la construction de méthodes de splitting d'ordre élevé avec temps complexes pour les équations aux dérivées partielles paraboliques, notamment les problèmes de réaction-diffusion en chimie.