Analyse locale dans les variétés presque complexes

• Main Author: Bertrand, Florian
• Language: FRE
• Published: Université de Provence - Aix-Marseille I 2007
• Subjects: [MATH] Mathematics; variété presque complexe; fibré cotangent; type au sens de D'Angelo; disque pseudoholomorphe; pseudométrique de Kobayashi; hyperbolicité au sens de Gromov
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00201783; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/17/83/PDF/these.pdf

Dans cette thèse, nous abordons certains aspects de l'analyse locale dans les variétés presque complexes. Dans un premier temps, nous étudions le fibré cotangent qui est un outil important pour l'analyse et la géométrie complexe. Nous construisons un relevé de structure presque complexe, à l'aide d'une connexion, qui unifie les relevés complets de I.Sato et horizontaux de S.Ishihara et K.Yano. Par ailleurs, nous dégageons les principales propriétés analytiques et symplectiques du relevé ainsi construit. <br />Dans les deux études qui suivent, nous nous intéressons aux propriétés locales des domaines pseudoconvexes de type de D'Angelo fini d'une variété presque complexe de dimension réelle quatre. Nous construisons des fonctions locales pic plurisousharmoniques, généralisant des travaux de J.E.Fornaess et N.Sibony. La construction d'une telle famille de fonctions permet d'établir des propriétés d'attraction et de localisation des disques pseudoholomorphes. En particulier, elle réduit l'étude de la pseudométrique de Kobayashi à un problème purement local. Le comportement asymptotique de cette pseudométrique est relié à certaines questions fascinantes d'analyse locale dans les variétés comme les phénomènes de prolongement au bord des difféomorphismes ou encore la classification des domaines, et fournit des informations intéressantes sur les propriétés géométriques et dynamiques de la variété. Nous donnons alors des estimées locales de cette pseudométrique au voisinage du bord. De plus, dans le cas de stricte pseudoconvexité, nous obtenons des estimées très fines nous permettant d'étudier les liens entre l'hyperbolicité au sens de Kobayashi et l'hyperbolicité au sens de Gromov ; nous généralisons ainsi, au cadre presque complexe, un résultat dû à Z.M.Balogh et M.Bonk.