Approximation du temps local et intégration par régularisation

• Main Author: Berard Bergery, Blandine
• Language: FRE
• Published: Université Henri Poincaré - Nancy I 2007
• Subjects: [MATH] Mathematics; Temps local; intégration stochastique par régularisation; variation quadratique; vitesse de convergence; théorème de Fubini stochastique; convergence au second ordre
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00181777; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/18/17/77/PDF/mathese.pdf

Cette thèse s'inscrit dans la théorie de l'intégration par régularisation de Russo et Vallois. La première partie est consacrée à l'approximation du temps local des semi-martingales continues. On montre que, si $X$ est une diffusion réversible, alors $ \frac{1}{\epsilon}\int_0^t \left( \indi_{\{ y < X_{s+\epsilon}\}} - \indi_{\{ y < X_{s}\}} \right) \left( X_{s+\epsilon}-X_{s} \right)ds$ converge vers $L_t^y(X)$, en probabilité uniformément sur les compacts, quand $\epsilon \to 0$. De ce premier schéma, on tire deux autres schémas d'approximation du temps local, l'un valable pour les semi-martingales continues, l'autre pour le mouvement Brownien standard. Dans le cas du mouvement Brownien, une vitesse de convergence dans $L^2(\Omega)$ et un résultat de convergence presque sûre sont établis. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'intégrale "forward" et à la variation quadratique généralisée, définies par des limites en probabilité de famille d'intégrales. Dans le cas Höldérien, la convergence presque sûre est établie. Enfin, on montre la convergence au second ordre pour une série de processus particuliers.