Méthodes Spinorielles et géométrie para-complexe et para-quaternionique en théorie des sous-variétés.
Ce travail est relatif à la théorie des immersions et utilise des méthodes issues de la géométrie spinorielle, para-complexe et para-quaternionique. Les deux premières parties sont consacrées aux immersions conformes de surfaces pseudo-Riemanniennes. D'une part, nous étudions ce type d'imm...
| Main Author: | |
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| Language: | ENG |
| Published: |
Université Henri Poincaré - Nancy I
2006
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| Online Access: | http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00142656 http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/14/26/56/PDF/These_finale.pdf |
| Summary: | Ce travail est relatif à la théorie des immersions et utilise des méthodes issues de la géométrie spinorielle, para-complexe et para-quaternionique. Les deux premières parties sont consacrées aux immersions conformes de surfaces pseudo-Riemanniennes. D'une part, nous étudions ce type d'immersions dans l'espace pseudo-Euclidien de dimension trois. Avec des méthodes de géométrie para-complexe et des représentations spinorielles réelles, l'équivalence entre les données d'une immersion conforme d'une surface de Lorentz dans $\mathbb{R}^{2,1}$ et de spineurs satisfaisant une équation de type Dirac est prouvée. D'autre part nous considérons des surfaces de Lorentz dans la pseudo-sphère $\mathbb{S}^{2,2}$: une bijection entre ces immersions et des sous-fibrés en droite para-quaternioniques du fibré $M\times\mathbb{H}^2$ est établie. Considérant une structure (para-)complexe particulière de ce fibré, la congruence pseudo-sphérique, et les champs de Hopf para-quaternioniques, nous définissons la fonctionnelle de Willmore de la surface et exprimons son énergie comme la somme de cette fonctionnelle et d'un invariant topologique. La dernière partie, plus générale, traite des fibrés vectoriels et immersions affines para-complexes. Nous introduisons la notion de fibré vectoriel para-holomorphe, et les sous-fibrés para-holomorphes et de type $(1,1)$ en termes de connections associées induites et de secondes formes fondamentales. Les équations fondamentales pour des décompositions générales de fibrés vectoriels munis d'une connexion sont étudiées dans le cas où certains des fibrés sont para-holomorphes afin d'obtenir des théorèmes d'existence et d'unicité pour des immersions affines para-complexes. |
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