Schémas à deux-grilles pour la résolution du problème de Navier-Stokes instationnaire incompressible

• Main Author: Abboud, Hyam
• Language: FRE
• Published: Université Pierre et Marie Curie - Paris VI 2006
• Subjects: [MATH] Mathematics; Méthode à deux grilles; problème non-linéaire; équations de Navier-Stokes; écoulements fluides instationnaires incompressibles; schémas d'ordre un et deux en temps; méthode des éléments finis; "mini-élément"; élément fini de Taylor-Hood
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00132658; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/13/26/58/PDF/TEL_TheseHyamABBOUD.pdf; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/13/26/58/ANNEX/TEL_SoutenanceHyamAbboud.pdf

Dans ce travail nous nous intéressons à la résolution du problème d'évolution de Navier-Stokes incompressible totalement discrétisé en temps et en espace, en dimension deux par une méthode à deux grilles. Dans un premier temps, nous étendons la méthode à deux grilles, appliquée par V. Girault et J.-L. Lions au problème de Navier-Stokes instationnaire semi-discrétisé au problème de Navier-Stokes totalement discrétisé en temps (par un schéma d'ordre un) et en espace (par une méthode d'éléments finis d'ordre un). Dans la première étape, le problème non-linéaire est discrétisé en espace et en temps sur une grille grossière de pas d'espace H avec un pas de temps Delta t. Puis dans la deuxième étape, le problème, linéarisé autour de la vitesse u_H calculée à l'étape précédente, est discrétisé en espace sur une grille fine de pas d'espace h et le même pas de temps. L'idée de la méthode à deux grilles est que, sous des hypothèses adéquates, la contribution de u_H à l'erreur dans le terme non-linéaire en espace, est mesurée en norme L^2 en espace et en temps et a un ordre plus élevé que si elle était mesurée en norme H^1. Dans un deuxième temps, vu que le but est de gagner en ordre de convergence de l'erreur totale du schéma ainsi qu'en complexité nous étudions un schéma à deux grilles d'ordre deux en temps du problème totalement discrétisé en temps et en espace de Navier-Stokes. Nous présentons les résultats suivants: dans le cas de la résolution du schéma d'ordre un en temps, si h = H^2 = Delta t, alors l'erreur globale de l'algorithme à deux grilles est de l'ordre de h. Dans le cas du schéma d'ordre deux en temps, si h^2 = (Delta t)^2 = H^3, alors l'erreur globale de l'algorithme à deux grilles est de l'ordre de h^2: résultats identiques à ceux de la résolution directe du problème non-linéaire sur une grille fine.