Estimation non paramétrique et problèmes inverses

• Main Author: Willer, Thomas
• Language: FRE
• Published: Université Paris-Diderot - Paris VII 2006
• Subjects: [MATH] Mathematics; Estimation adaptative; <br />Estimation non paramétrique; Ondelettes; Théorie minimax; Vitesses<br />de convergence; Déconvolution; Problèmes inverses; Ondelettes de<br />seconde génération; Espaces de Besov; Polynômes de Jacobi; <br />Régression en design aléatoire; Ondelettes déformées
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00121197; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/12/11/97/PDF/these.pdf

On se place dans le cadre de<br />l'estimation non paramétrique pour les problèmes inverses, où une<br />fonction inconnue subit une transformation par un opérateur<br />linéaire mal posé, et où l'on en observe une version bruitée par<br />une erreur aléatoire additive. Dans ce type de problèmes, les<br />méthodes d'ondelettes sont très utiles, et ont été largement<br />étudiées. Les méthodes développées dans cette thèse s'en<br />inspirent, mais consistent à s'écarter des bases d'ondelettes<br />"classiques", ce qui permet d'ouvrir de nouvelles perspectives<br />théoriques et pratiques. Dans l'essentiel de la thèse, on utilise<br />un modèle de type bruit blanc. On construit des estimateurs<br />utilisant des bases qui d'une part sont adaptées à l'opérateur, et<br />d'autre part possèdent des propriétés analogues à celles des<br />ondelettes. On en étudie les propriétés minimax dans un cadre<br />large, et l'on implémente ces méthodes afin d'en étudier leurs<br />performances pratiques. Dans une dernière partie, on utilise un<br />modèle de regression en design aléatoire, et on étudie les<br />performances numériques d'un estimateur reposant sur la<br />déformation des bases d'ondelettes.