Etude de quelques E.D.P. non linéaires dans L^1 avec des conditions générales sur le bord

• Main Author: Sbihi, Karima
• Language: FRE
• Published: Université Louis Pasteur - Strasbourg I 2006
• Subjects: [MATH] Mathematics; problèmes elliptique-parabolique-hyperbolique; conditions non linéaires; semigroupes non linéaires; <br />opérateur accrétif; capacité; dédoublement de variables; lois de conservation scalaires; trace forte
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00110417; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/11/04/17/PDF/these-sbihi.pdf

L'objectif de ce travail est l'étude de divers roblèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires du type hyperbolique et d'autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces équations sont d'une façon générale mal posées dans le cadre de solutions faibles (i.e. au sens des distributions), car en général on n'a pas l'unicité. Des formulations plus appropriées ont alors vu le jour : les solutions appelées SOLA, les solutions entropiques et les solutions renormalisées. Cette thèse composée de cinq chapitres, présente des résultats d'existence et d'unicité de solutions entropiques et renormalisées pour quatre problèmes non linéaires du type mentionnés ci-dessus. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du travail, nous prouvons au chapitre 2 l'existence et l'unicité de la solution entropique pour un problème elliptique du type diffusion-convection avec des conditions non linéaires sur le bord. Ces conditions englobent en particulier les conditions usuelles. Dans le même axe, au chapitre 3, l'existence et l'unicité de la solution entropique d'un problème parabolique avec absorption dépendant de la variable d'espace sont démontrés. Le chapitre 4 a pour but de présenter un résultat d'existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire. Le dernier résultat, présenté au chapitre 5, est l'existence et l'unicité de la solution entropique d'un problème de lois de conservation scalaires avec des conditions non linéaires sur le bord.