Convexité dans le plan discret. Application à la tomographie

• Main Author: Daurat, Alain
• Language: FRE
• Published: Université Paris-Diderot - Paris VII 2000
• Subjects: [INFO:INFO_OH] Computer Science/Other; [MATH] Mathematics; convexité discrète; tomographie discrète; reconstruction d'images binaires
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00012136; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/06/56/99/ANNEX/these_erratum.html; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/06/56/99/ANNEX/expose2.pdf; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/06/56/99/PDF/these.pdf

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude des convexes dans le plan discret Z2 ou plus généralement Zn. Il existe en fait plusieurs notions de convexité discrète : la convexité simple selon certaines directions, la convexité totale (la convexité usuelle du continu), etc. La Q-convexité est encore une nouvelle classe qui généralise à la fois les totalement convexes et les polyominos HV-convexes. On étudie les liens entre toutes ces différentes notions, et on donne des propriétés des points particuliers de ces ensembles comme les points médians et les points saillants.<br /><br />Toute la deuxième partie est dédiée au problème de la tomographie dans le plan discret Z2. Il s'agit simplement de reconstruire un ensemble à partir du nombre de points dans les droites parallèles à des directions données. L'algorithme polynomial, déjà connu pour les polyominos HV-convexes avec les directions horizontales et verticales, se généralise aux Q-convexes pour des directions quelconques. D'autre part, le théorème d'unicité qui montre en particulier que sept directions suffisent pour déterminer un totalement convexe se généralise aussi aux Q-convexes. On en déduit que lorsque l'on a assez de directions pour avoir unicité de la solution, la reconstruction des totalement convexes peut se faire en temps polynomial. On a aussi un algorithme polynomial de reconstruction approchée des Q-convexes.