Spectres euclidiens et inhomogènes des corps de nombres

• Main Author: Cerri, Jean-Paul
• Language: FRE
• Published: Université Henri Poincaré - Nancy I 2005
• Subjects: [MATH] Mathematics; [INFO:INFO_MO] Computer Science/Modeling and Simulation; corps de nombres; minimum et spectre euclidiens; minimum et spectre inhomogènes; algorithmique; euclidianité en m étapes
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011151; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/05/07/65/PDF/Th-cerri.pdf

L'objet de cette thèse est double. Tout d'abord elle vise à répondre à certaines questions relatives aux notions de spectres euclidien et inhomogène (pour la norme) d'un corps de nombres, et notamment à celles qui concernent son minimum euclidien (pour la norme). Nous établissons en particulier que pour tout corps de nombres K, le minimum euclidien de K, noté M(K), est égal à son minimum inhomogène M(\overline{K}), et que si le rang du groupe des unités de K est strictement supérieur à 1, les spectres euclidiens et inhomogènes de K sont égaux et rationnels lorsque K n'est pas CM. Les résultats que nous établissons sous l'hypothèse r > 1 ont pour conséquence la décidabilité de l'euclidianité pour la norme. <br />Nous montrons également comment calculer explicitement M(K). Nous décrivons un algorithme pour le cas où K est totalement réel, qui a permis de construire des tables jusqu'au degré 8 ; nous indiquons comment le transposer à des corps de nombres quelconques. En outre, cet algorithme a permis de trouver de nombreux exemples de corps de nombres principaux, non euclidiens pour la norme et euclidiens en deux étapes.