Inégalités isopérimétriques sur les graphes et applications en géométrie différentielle

• Main Author: Balacheff, florent
• Language: FRE
• Published: Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc 2005
• Subjects: [MATH] Mathematics; Constante systolique; entropie volumique; graphe; inégalité isopérimétrique; norme stable; polytope; revêtement cyclique; somme connexe; systole
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00010580; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/86/09/PDF/tel-00010580.pdf

Cette thèse étudie certaines inégalités isopérimétriques globales sur les graphes métriques et les variétés riemanniennes. Tout d'abord, nous établissons pour un graphe métrique une inégalité isopérimétrique entre l'entropie volumique et la systole, puis étudions la géométrie de la boule unité de la norme stable en fonction de la combinatoire du graphe. Nous poursuivons en montrant que, pour une variété riemannienne fermée (M,g) de dimension au moins trois et de premier nombre de Betti non nul, une large classe de polytopes apparaît comme boule unité de la norme stable d'une métrique dans la classe conforme de g. Nous exhibons ensuite une borne supérieure de la constante systolique de la somme connexe de n exemplaires d'une variété M, montrant ainsi que la croissance de la constante systolique en fonction de n est toujours plus lente que la croissance linéaire. Enfin, nous démontrons une inégalité entre la systole, la longueur du lacet systolique et le diamètre d'une variété riemannienne simplement connexe dont le second groupe homotopique est non trivial.