Approximants de Hermite-Padé, déterminants d'interpolation et approximation diophantienne

• Main Author: Khémira, Samy
• Language: FRE
• Published: Université Pierre et Marie Curie - Paris VI 2005
• Subjects: [MATH] Mathematics; Approximants de Hermite-Padé; interpolation de Hermite; déterminant de Vandermonde généralisé; approximation diophantienne; transcendance; hauteurs; lemme de zéros; lemme de Schwarz; inégalité de Liouville
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00009653; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/82/06/PDF/tel-00009653.pdf

Cette thèse aborde des sujets d'approximation diophantienne et de transcendance liés aux fonctions exponentielles. Il est tout d'abord établit des liens entre les coefficients d'approximants de Hermite-Padé, ceux de polynômes d'interpolation de Hermite et certains cofacteurs d'un déterminant de Vandermonde généralisé. Nous utilisons ensuite la notion de hauteur d'une matrice (que nous majorons grâce aux liens précédemment fournis) afin de donner une nouvelle démonstration de la transcendance de $e$. Ces résultats nous permettent finalement d'obtenir de nouveaux énoncés d'approximation diophantienne tels que la minoration de la distance de l'exponentielle d'un nombre algébrique (de hauteur absolue logarithmique de Weil bornée) à un autre nombre algébrique (lui aussi de hauteur absolue logarithmique de Weil bornée) en fonction de ces mêmes bornes. Il est ensuite donné, pour différentes valeurs de nombres rationnels $a$, quelques estimations remarquables telles que le minimum, sur l'ensemble des entiers non nuls $b$ et $c$, de la distance $|e^(b)-a^(c)|$.