Étude mathématique de quelques équations cinétiques collisionnelles

• Main Author: Mouhot, Clément
• Language: FRE
• Published: Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON 2004
• Subjects: [MATH] Mathematics; équation de Boltzmann; équation de Landau; régularité; singularité; opérateur de Boltzmann linéarisé; opérateur de Landau linéarisé; estimation de trou spectral; estimation de coercivité; spectre; taux de retour à l'équilibre; explicite; gaz granulaire; processus de gel; profil auto-similaire; méthode numérique déterministe; méthode spectrale; modèles discrétisés en vitesses; algorithmes rapides
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008338; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/77/66/PDF/tel-00008338.pdf

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude des solutions des équations de Boltzmann (élastiques et inélastiques) et Landau. Les axes de cette étude sont la régularité des solutions et leur comportement asymptotique, et nous nous attachons systématiquement à quantifier les résultats obtenus. Dans la première partie, d'une part nous considérons les solutions spatialement homogènes de l'équation de Boltzmann, pour lesquelles nous montrons la propagation de la régularité et la décroissance des singularités pour des interactions à courte portée, et la propagation de bornes <br />d'intégrabilité pour des interactions à longue portée. D'autre part, nous quantifions la positivité des solutions spatialement <br />inhomogènes, sous des hypothèses de régularité. Dans la deuxième partie, nous donnons des estimations de trou spectral et de coercivité sur les opérateurs de Boltzmann et Landau linéarisés, puis nous prouvons la convergence exponentielle vers l'équilibre avec taux explicite pour un gaz de sphères dures spatialement homogènes. Dans la troisième partie, nous considérons l'équation de Boltzmann spatialement homogène pour les gaz granulaires, pour laquelle nous construisons des solutions pour des modèles d'inélasticité réalistes (mais fortement non-linéaires) et discutons la possibilité de « gel » en temps fini ou asymptotiquement. Puis nous montrons l'existence de profils auto-similaires et étudions le comportement de la solution pour les grandes vitesses. Dans la quatrième partie, nous utilisons une semi-discrétisation de l'opérateur de Boltzmann pour proposer <br />des schémas numériques rapides basés sur les méthodes spectrales ou les méthodes par discrétisation des vitesses.