Une étude des sommes fortes : isomorphismes et formes normales

• Main Author: Balat, Vincent
• Language: FRE
• Published: Université Paris-Diderot - Paris VII 2002
• Subjects: [INFO:INFO_MO] Computer Science/Modeling and Simulation; [INFO:INFO_OH] Computer Science/Other; [INFO:INFO_SE] Computer Science/Software Engineering; lambda-calcul; types; catégories; isomorphismes; somme; co-produit; zéro; objet initial; formes normales; modèles; logique linéaire multiplicative; égalités arithmétiques; problème des égalités du lycée de Tarski; relations logiques de Grothendieck; normalisation par évaluation; évaluation partielle dirigée par les types; opérateurs de contrôle; ocaml
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007880; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/75/03/PDF/tel-00007880.pdf

Le but de cette thèse est d'étudier la somme et le zéro dans deux principaux cadres : les isomorphismes de types et la normalisation de lambda-termes. Les isomorphismes de type avaient déjà été étudiés dans le cadre du lambda-calcul simplement typé avec paires surjectives mais sans somme. Pour aborder le cas avec somme et zéro, j'ai commencé par restreindre l'étude au cas des isomorphismes linéaires, dans le cadre de la logique linéaire, ce qui a conduit à une caractérisation remarquablement simple de ces isomorphismes, obtenue grâce à une méthode syntaxique sur les réseaux de preuve. Le cadre plus général de la logique intuitionniste correspond au problème ouvert de la caractérisation des isomorphismes dans les catégories bi-cartésiennes fermées. J'ai pu apporter une contribution à cette étude en montrant qu'il n'y a pas d'axiomatisation finie de ces isomorphismes. Pour cela, j'ai tiré partie de travaux en théorie des nombres portant sur un problème énoncé par Alfred Tarski et connu sous le nom du « problème des égalités du lycée ». Pendant tout ce travail sur les isomorphismes de types, s'est posé le problème de trouver une forme canonique pour représenter les lambda-termes, que ce soit dans le but de nier l'existence d'un isomorphisme par une étude de cas sur la forme du terme, ou pour vérifier leur existence dans le cas des fonctions très complexes que j'étais amené à manipuler. Cette réflexion a abouti à poser une définition « extensionnelle » de forme normale pour le lambda-calcul avec somme et zéro, obtenue par des méthodes catégoriques grâce aux relations logiques de Grothendieck, apportant ainsi une nouvelle avancée dans l'étude de la question réputée difficile de la normalisation de ce lambda-calcul. Enfin je montrerai comment il est possible d'obtenir une version « intentionnelle » de ce résultat en utilisant la normalisation par évaluation. J'ai pu ainsi donner une adaptation de la technique d' évaluation partielle dirigée par les types pour qu'elle produise un résultat dans cette forme normale, ce qui en réduit considérablement la taille et diminue aussi beaucoup le temps de normalisation dans le cas des isomorphismes de types considérés auparavant.