Construction de surfaces minimales par résolution du problème de Dirichlet

• Main Author: Mazet, Laurent
• Language: FRE
• Published: Université Paul Sabatier - Toulouse III 2004
• Subjects: [MATH] Mathematics; geometrie differentielle; surface minimale; edp
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007780; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/74/69/PDF/tel-00007780.pdf

Le cadre de cette thèse est la théorie des surfaces minimales. En 2001, C. Cosin et A. Ros démontrent que, si un polygone borde un disque immergé, ce polygone est le polygone de flux d'un r-noide Alexandrov-plongé symétrique de genre 0. Leur démonstration se fonde sur l'étude de l'espace de ces surfaces minimales. Notre travail présente une démonstration plus constructive de leur résultat. Notre méthode repose sur la résolution du problème de Dirichlet pour l'équation des surfaces minimales. A cette fin, nous étudions la convergence de suites de solutions de cette équation. Nous définissons la notion de lignes de divergence de la suite qui sont les points ou la suite des gradients est non-bornées. L'étude de ces lignes permet de conclure sur la convergence d'une suite. Les r-noides sont alors construits comme les surfaces conjuguées aux graphes de solutions du problème de Dirichlet sur des domaines fixés par les polygones. Dans une seconde partie, nous montrons que, sous l'hypothèse de border un disque immergé, un polygone est aussi le polygone de flux d'un r-noide Alexandrov-plongé symétrique de genre $1$. La démonstration repose sur une amélioration des idées de celle du premier résultat, elle nécessite entre autre la résolution d'un problème de période. Cette résolution passe par l'étude du comportement limite de certaines suites de surfaces minimales.