Sur la discrétisation des déterminants des opérateurs de Schrödinger

• Main Author: CHAUMARD, Laurent
• Language: FRE
• Published: 2003
• Subjects: [MATH] Mathematics; Fonction zeta; d{é}terminant zeta-r{é}gularis{é}; spectre de graphe; op{é}rateur de Schrödinger; discr{é}tisation; op{é}rateurs pseudo-diff{é}rentiels; g{é}om{é}trie riemannienne
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007117; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/71/84/PDF/tel-00004052.pdf

Sur une variété compacte $(\cal M)$, à tout opérateur de Schrödinger $A = \Delta_g+V$ défini sur l'espace des fonctions sur $(\cal M)$, il est possible, via un procédé que l'on appelle $\zeta-$régularisation, de définir un déterminant de $A$, que nous notons $(\rm det)_\zeta A$. Nous donnons ici principalement deux résultats : le premier prouve que, à chaque tore riemannien $((\cal M),g)$ de dimension $2$, il est possible d'associer une suite $(G_n, \rho_n , \Delta_n)$, où $G_n$ est un graphe fini, qui se plonge dans $(\cal M)$ via $\rho_n$ de telle manière que $\rho_n(G_n)$ soit une triangulation de $(\cal M)$, et où $\Delta_n$ est un laplacien discret sur $G_n$ tel que pour tout potentiel $V$ sur $(\cal M)$, la suite de réels $\big( \det \Delta_n +V \big)_(n \in (\Bbb N))$ converge, après renormalisation, vers $(\rm det)_\zeta \big( \Delta_g+V \big)$. Le deuxième donne, sur toute variété riemannienne compacte $((\cal M) , g)$ de dimension inférieure ou égale à $3$, et sur laquelle le groupe d'isométrie de $g$ agit de manière transitive, un majorant (en précisant le cas d'égalité) du déterminant $(\rm det)_\zeta \big( \Delta_g + V \big)$, lorsque le potentiel $V$ est positif, qui dépend de $g$ et de la moyenne de $V$.