Structures différentielles en géométrie complexe et presque complexe

• Main Author: PALI, Nefton
• Language: FRE
• Published: 2004
• Subjects: [MATH] Mathematics; variétés complexes; faisceaux analytiques cohérents; algèbre homologique non-commutative; EDP quasi-linéaires; méthode Nash-Moser; variétés presque complexes; courbure de Chern; courbes J-holomorphes; fonctions J-plurisousharmoniques; courants positifs de type (1; 1)
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007104; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/71/77/PDF/tel-00007095.pdf

Nous généralisons au contexte des faisceaux analytiques cohérents un résultat classique de Koszul-Malgrange concernant l'intégrabilité des connexions de type $(0,1)$ sur un fibré vectoriel complexe $(\cal C)^(\infty)$ au dessus d'une variété complexe. En introduisant la notion de faisceau $\bar(\partial)$-cohérent, qui est une notion qui vit dans le contexte $(\cal C)^(\infty)$, nous montrons l'existence d'une équivalence (exacte) entre la catégorie des faisceaux analytiques cohérents et la catégorie des faisceaux $\bar(\partial)$-cohérents. L'application principale de cette caractérisation est une méthode (la $\bar(\partial)$-stabilité) qui permet de trouver des structures analytiques lesquelles sont obtenues par déformation $\ci$ d'autres structures analytiques. En suite nous conjecturons, comme dans le cas analytique complexe, que la notion de plurisousharmonicité pour une fonction $u$ sur une variété presque complexe est équivalente à la positivité du $(1,1)$-courant $i\partial\bar(\partial)u$. Nous montrons la nécessité de la positivité de ce courant. Nous montrons aussi la suffisance de la positivité dans le cas particulier d'une fonction semi-continue supérieurement et continue en dehors du lieu ou elle vaut $-\infty$.