Sur les déformations des systèmes complètement intégrables classiques et semi-classiques

• Main Author: ROY, Nicolas
• Language: FRE
• Published: 2003
• Subjects: [MATH] Mathematics; systèmes hamiltoniens complètement intégrables; déformations; analyse semi-classique; opérateurs pseudo-différentiels; quasi-résonances
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00003400; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/55/88/PDF/tel-00003400.pdf

Dans un premier temps, on considère un hamiltonien complètement intégrable régulier sur une variété symplectique et on cherche à caractériser les perturbations de ce hamiltonien qui sont des déformations, i.e qui restent complètement intégrables après l'ajout de la perturbation. Après avoir explicité la classe d'hamiltoniens non-dégénérés considérée et conjecturé la forme générale des déformations régulières, on donne les conditions formelles dans le paramètre de perturbation pour que le hamiltonien reste complètement intégrable régulier ou singulier. Dans un deuxième temps, on considère un système complètement intégrable semi-classique décrit par un opérateur pseudo-différentiel sur le tore et on étudie le spectre d'une perturbation de cet opérateur. On utilise pour cela une méthode de forme normale qui met l'opérateur sous une forme simple près de chaque résonance. Cette forme normale est ensuite utilisée pour construire des quasimodes de l'opérateur perturbé