Sur les invariants des pinceaux de quintiques binaires

• Main Author: Meulien, Matthias
• Language: FRE
• Published: Université de Versailles-Saint Quentin en Yvelines 2002
• Subjects: [MATH] Mathematics; geometric invariant theory; binary quintics; Gorenstein rings; Poincaré series
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00002255; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/51/32/PDF/tel-00002255.pdf

On s'intéresse aux invariants pour l'action naturelle du groupe SL_2<br />sur l'algèbre B des coordonnées homogènes de la Grassmannienne des<br />pinceaux de formes quintiques binaires. La variété quotient<br />Proj(B^SL_2) est un candidat naturel pour la variété de modules des<br />quintiques gauches rationnelles.<br /><br />Un procédé connu établit une correspondance birationnelle et<br />équivariante entre la Grassmannienne des pinceaux de formes binaires<br />de degré d et l'espace projectif des formes binaires de degré 2d-2.<br />Lorsque le degré d est 5, cela suggère de comparer l'algèbre B^SL_2 et<br />l'algèbre des invariants d'une forme octique binaire. Cette algèbre a<br />été décrite en détail par T. Shioda en 1967.<br /><br />Nous établissons pour B^SL_2 un résultat analogue à celui de T.<br />Shioda : l'algèbre B^SL_2 est le quotient de l'algèbre de polynômes à<br />neuf indéterminées R=C[x_1,x_2,x_3,x'_3,x_4,x_5,x'_5,x_6,x_7] (les<br />indices donnent les degrés des indéterminées) par l'idéal des<br />4-Pfaffiens d'une matrice alternée 5x5 ; on identifie (numériquement)<br />la résolution libre minimale du R-module B^SL_2 ; enfin, on obtient<br />une famille génératrice minimale de l'algèbre B^SL_2.<br /><br />Pour y parvenir on commence par étendre la formule de T. Springer<br />(donnant la série de Poincaré de l'algèbre des invariants d'une forme<br />binaire) à l'algèbre des coordonnées homogènes d'une Grassmannienne.<br /><br /><br />Le point clé suivant consiste en l'identification d'un système de<br />paramètres homogènes. C'est possible grâce à une caractérisation, au<br />moyen du morphisme Wronskien, de la stabilité sur la Grassmannienne.<br />Il faut ensuite étudier les covariants d'ordre 4 et degré 2, ce qui<br />donne lieu à quelques énoncés de nature géométrique.<br /><br />Ces techniques permettent également de décrire les algèbres<br />d'invariants des pinceaux de cubiques et quartiques. Par ailleurs<br />l'étude du Wronskien conduit à de nouvelles formules de pléthysme.