Approximation et indépendance algébrique de quasi-périodes de variétés abéliennes

• Main Author: Grinspan, Pierre
• Language: FRE
• Published: Université Pierre et Marie Curie - Paris VI 2000
• Subjects: [MATH] Mathematics; Forme modulaire; fonction modulaire; fonction hypergéométrique; théorème d'Eisenstein; fonction thêta; intégrale abélienne; période; transcendance; mesure d'approximation; mesure de transcendance; indépendance algébrique; fonction gamma
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001328; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/48/40/PDF/tel-00001328.pdf

Périodes et ``quasi-périodes'' (aussi appelées, resp., périodes de première et deuxième espèce) d'une variété abélienne $A$ définie sur un sous-corps de $\CC$ s'obtiennent par intégration, le long des chemins fermés sur $A(\CC)$, des différentielles rationnelles sur $A$, méromorphes et sans résidus de sorte que ces intégrales soient bien définies; les premières sont obtenues en se restreignant aux différentielles régulières. Au premier chapitre de la thèse, la ``méthode modulaire'' de Barré, Diaz, Gramain, Philibert et Nesterenko est utilisée et quelque peu raffinée pour obtenir notamment une mesure d'approximation algébrique du quotient d'une période d'une courbe elliptique définie sur $\bar\QQ$ par sa quasi-période associée; ceci améliore un résultat récent de N. Saradha, en lui faisant presque contenir celui obtenu en 1980 par Reyssat avec la ``méthode elliptique''. Puis, dans la deuxième partie, nous étudions diverses extensions possibles des théorèmes de Chudnovsky (des années 70) sur l'indépendance algébrique de quasi-périodes de courbes elliptiques; ceci inclut des extensions aux variétés abéliennes de dimension quelconque, ainsi que des résultats d'approximation (algébrique) simultanée précisant les assertions d'indépendance algébrique. Au coeur des deux parties, bien que celles-ci soient par ailleurs très différentes, se trouve une astuce suggérée par Chudnovsky au début des années 80, consistant à faire apparaître et exploiter des propriétés de ``G-fonctions'' (ou ``condition d'Eisenstein'' de Polya et Szegö) dans les estimations arithmétiques de la preuve de transcendance; pour ce faire on utilise, dans la deuxième partie, des généralisations en plusieurs variables du théorème d'Eisenstein et de la fonction sigma de Weierstrass qui avaient servi à Chudnovsky, et dans la première, les liens entre les fonctions modulaires (thêta notamment) et hypergéométriques.