Sur quelques problèmes de la géométrie des systoles

• Main Author: Sabourau, Stéphane
• Language: FRE
• Published: Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc 2001
• Subjects: [MATH] Mathematics; géométrie riemannienne<br />géodésiques fermées; systoles<br />invariants de remplissage
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001175; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/47/88/PDF/tel-00001175.pdf

Cette thèse est consacrée à l'étude d'inégalités géométriques universelles sur les variétés riemanniennes. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux relations entre le volume et la longueur des courtes géodésiques fermées, sans hypothèse de courbure.<br /><br />Tout d'abord, nous étudions les métriques extrémales pour le problème isosystolique sur les surfaces. Nous établissons un critère à l'extrémalité des métriques sur les surfaces orientables et examinons le cas de genre deux.<br /><br />Ensuite, nous montrons que la longueur de la plus courte trajectoire non triviale parmi les géodésiques fermées simples d'indice un et les géodésiques en huit d'indice nul minore l'aire et le diamètre des sphères riemanniennes.<br />Nous discutons aussi de la rigidité et de la souplesse du rayon de remplissage par rapport aux longueurs de courtes géodésiques provenant de la théorie de Morse sur l'espace des 1-cycles.<br /><br />Finalement, nous minorons le volume et le diamètre des variétés riemanniennes complètes à l'aide de la longueur du plus court lacet géodésique non trivial. De plus, nous obtenons une minoration de la croissance du volume des boules de ``petit'' rayon, ainsi qu'un résultat de finitude homotopique.