Analyse idempotente en dimension infinie : le rôle des ensembles ordonnés continus

• Main Author: Poncet, Paul
• Language: ENG
• Published: Ecole Polytechnique X 2011
• Subjects: [MATH:MATH_FA] Mathematics/Functional Analysis; mesures maxitives; algèbre max-plus; convexité tropicale; théorème de Krein-Milman; représentation intégrale de Choquet; semimodules idempotents; semigroupes inverses; ensembles ordonnés continus
• Online Access: http://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00666633; http://pastel.archives-ouvertes.fr/docs/00/66/66/33/PDF/thesisPONCET20120205.pdf

L'analyse idempotente étudie les espaces linéaires de dimension infinie dans lesquels l'opération maximum se substitue à l'addition habituelle. Nous démontrons un ensemble de résultats dans ce cadre, en soulignant l'intérêt des outils d'approximation fournis par la théorie des domaines et des treillis continus. Deux champs d'étude sont considérés : l'intégration et la convexité. En intégration idempotente, les propriétés des mesures maxitives à valeurs dans un domaine, telles que la régularité au sens topologique, sont revues et complétées ; nous élaborons une réciproque au théorème de Radon-Nikodym idempotent ; avec la généralisation Z de la théorie des domaines nous dépassons différents travaux liés aux représentations de type Riesz des formes linéaires continues sur un module idempotent. En convexité tropicale, nous obtenons un théorème de type Krein-Milman dans différentes structures algébriques ordonnées, dont les semitreillis et les modules idempotents topologiques localement convexes ; pour cette dernière structure nous prouvons un théorème de représentation intégrale de type Choquet : tout élément d'un compact convexe K peut être représenté par une mesure de possibilité supportée par les points extrêmes de K. Des réflexions sont finalement abordées sur l'unification de l'analyse classique et de l'analyse idempotente. La principale piste envisagée vient de la notion de semigroupe inverse, qui généralise de façon satisfaisante à la fois les groupes et les semitreillis. Dans cette perspective nous examinons les propriétés "miroir" entre semigroupes inverses et semitreillis, dont la continuité fait partie. Nous élargissons ce point de vue en conclusion.