Quelques applications des fonctions a variation bornee en dimension finie et infinie

• Main Author: Goldman, Michael
• Language: FRE
• Published: Ecole Polytechnique X 2011
• Subjects: [MATH:MATH_AP] Mathematics/Analysis of PDEs; fonctions a variation bornee
• Online Access: http://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00661393; http://pastel.archives-ouvertes.fr/docs/00/66/13/93/PDF/these_michaelv2.pdf

Cette thèse a pour but d'étudier quelques applications des fonctions à variation bornée et des ensembles de périmètre fini. Nous nous intéressons en particulier à des applications en traitement d'images et en géométrie de dimension finie et infinie. Nous étudions tout d'abord une méthode dite Primale-Duale proposée par Appleton et Talbot pour la résolution de nombreux problèmes en traitement d'images. Nous réinterprétons cette méthode sous un oeil nouveau, ce qui aide à mieux la comprendre mathématiquement. Ceci permet par exemple de démontrer sa convergence et d'établir de nouvelles estimations a posteriori qui sont d'une grande importance pratique. Nous considérons ensuite le problème de courbure moyenne prescrite en milieu périodique. A l'aide de la théorie des ensembles de périmètre fini, nous démontrons l'existence de solutions approchées compactes de ce problème. Nous étudions également le comportement asymptotique de ces solutions lorsque leur volume tend vers l'infini. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'étude de problèmes géométriques dans les espaces de Wiener. Nous étudions d'une part les liens entre symétrisations, semi-continuité et inégalités isopérimétriques ce qui permet d'obtenir un résultat d'approximation et de relaxation pour le périmètre dans ces espaces de dimension infinie. Nous démontrons d'autre part la convexité des solutions de certains problèmes variationnels dans ces espaces, en développant au passage l'étude de la semi-continuité et de la relaxation dans ce contexte.